Modell von Cournot

4.2.2.2 Das Cournotsche n-pol

Modell von Stackelberg

it etwas Mathematik und einem "hübschen Trick" kann man dieses Ergebnis leicht ableiten. Den Ausgangspunkt bildet eine Preis-Absatz-Funktion für das Mineralwasseroligopol* mit $n$ identischen Anbietern:

$$ p = a - b \cdot X = a - b \cdot \sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} \tag{1}$$

Wenn man sich ausgangs nicht festlegt, welchen Wert $n$ annehmen soll, kann man in der späteren Lösung z.B. $n=3$ für das Tripol, aber auch jeden beliebigen anderen Wert für die Zahl der Unternehmen wählen.

$X$ ist die Menge aller $n$ Anbieter; einen von ihnen betrachten wir näher: Anbieter $j$, der die Menge $x_j$ anbietet. Sein Umsatz beträgt

$$ {U_j} = \left[ {a - b \cdot X} \right] \cdot {x_j} = \left[ {a - b \cdot \sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right] \cdot {x_j} \tag{2}$$

Da der Mineralwasserproduzent keine Kosten hat, maximiert er mit den Umsätzen die Gewinne. Zur Berechnung der notwendigen Bedingung für die Maximierung seines Umsatzes empfiehlt es sich, zunächst den betrachteten Anbieter $j$ aus dem Summenzeichen herauszulösen:

$$ {U_j} = a \cdot {x_j} - b \cdot \sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} \cdot {x_j} = a \cdot {x_j} - b \cdot \sum\nolimits_{i = 1;i \ne j}^n {{x_i}} \cdot {x_j} - b \cdot x_j^2 \tag{3}$$

Das ist zwar eigentlich nicht notwendig, macht aber deutlich, dass der Umsatz in $x_j$ quadratisch ist. Die Angebotsmengen der anderen $n-1$ Unternehmen sind der Cournotschen Verhaltensannahme zufolge für Anbieter $j$ Daten (gegebene Werte).

Als notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum folgt:

$$ \frac{{{\rm{d}}{U_j}}}{{{\rm{d}}{x_j}}} = a - b \cdot \sum\nolimits_{i = 1;i \ne j}^n {{x_i}} - 2b \cdot x_j^{}\mathop = \limits^{\rm{!}} 0 \tag{4}$$

Gleichung (4) enthält zwei bekannte Parameter $a$ und $b$ sowie $i$ unbekannte Variablen. Trotzdem ist das Problem lösbar, denn analog zu Gleichung (4) lassen sich ja auch für die übrigen $n-1$ Anbieter die entsprechenden Bedingungen berechnen, so dass am Ende n Unbekannten $n$ Gleichungen gegenüberstehen.

Aber es geht einfacher mit folgendem "Trick": Alle Anbieter sind annahmegemäß identisch. Damit gilt $x_i = x_j$ und (4) vereinfacht sich zu

$$ a - b \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot {x_j} - 2b \cdot x_j^{} = 0 \tag{5}$$

oder kürzer

$$ x_j^* = \cfrac{a}{{b\left( {n + 1} \right)}} \tag{6}$$

Das war es schon! Die Überprüfung der hinreichenden Bedingung schenken wir uns mal. Mit (6) ist die optimale Menge für einen repräsentativen Anbieter bekannt; die Menge aller $n$ identischen Anbieter ist somit

$$ X{}^* = n \cdot x_j^* = \cfrac{n}{{\left( {n + 1} \right)}} \cdot \cfrac{a}{b} \tag{7}$$

Für $n=1$ erhält man die Monopollösung im Mineralwasserfall, für $n=2$ die Cournotsche Zwei-Drittel-Lösung, für $n=3$ eine Cournotsche Drei-Viertel-Lösung usw. Mit zunehmender Zahl der Anbieter strebt die Menge gegen die Sättigungsmenge $a/b$, die hier mit der Konkurrenzlösung übereinstimmt (da die Grenzkosten null sind).

Wenn man die Menge $X^*$ in die Nachfragefunktion (1) einsetzt, findet man den Preis in Abhängigkeit von der Zahl der Anbieter

$$ p = \frac{a}{{n + 1}} \tag{8}$$

und sieht (fast) unmittelbar, dass die Konsumenten Konkurrenz wünschen sollten - vorausgesetzt man ist bereit, Konkurrenz oder ihre Intensität mit der Zahl der Anbieter gleichzusetzen.

Davor muss an dieser Stelle aber gewarnt werden, denn es gibt gute Argumente, warum das nicht der Fall sein muss (siehe Kasten). Trotzdem darf man sich an dieser Stelle etwas zurücklehnen, hat man doch - wenn auch unter restriktiven Annahmen - eine These abgeleitet, die geradezu nach empirischer Überprüfung schreit und zugleich das Leitbild der Wettbewerbspolitik liefert:

Dazu beinhaltet dieses Modell das Monopol und die vollkommene Konkurrenz als Spezialfälle.

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